सांख्यिकीय परिचय (Introduction of Statistics)

परिचय: सांख्यिकीय 

"सांख्यिकीय" शब्द लैटिन शब्द "status (स्टेटस)", इटालवी शब्द "statista (स्टेटिस्टा)", जर्मन शब्द " statistic (स्टैटिसिक)" या फ्रेंच शब्द "statistique (स्टेटिस्टीक)" से प्राप्त हुआ प्रतीत होता है, जो राजनीतिक राज्य से संबंधित हैं।

प्रारंभिक वर्षों में "साँख्यिकी से आशय" उन आंकड़ो से था जो राज्य से संबंधित लोगों के कल्याण के लिए एकत्र किए जाते थे और बनाए रखते थे। इससे देश के विभिन्न भागों में रहने वाले व्यक्तियों के विभिन्न समूहों की सामाजिक और आर्थिक स्थिति के बारे में जानकारी एकत्र करने में मदद मिलती थी।

कौटिल्य ने चौथी शताब्दी B.C में चंद्रगुप्त के शासनकाल में अपनी प्रसिद्ध पुस्तक "अर्थशास्त्र" में जन्म और मृत्यु के अभिलेख और कुछ अन्य बहुमूल्य अभिलेख रखे थे। अकबर (सोलहवीं शताब्दी ईस्वी) के शासनकाल के दौरान हमें कृषि पर सांख्यिकीय अभिलेख मिलते हैं – जिसे आइन – ऐ - अकबरी में अबू फजल द्वारा लिखा गया था।

मिस्र का जिक्र करते हुए कहा जाता हैं कि पहली जनगणना फिरौन (Pharaoh) ने 300 B.C से 2000 B.C के दौरान कराई थी। 

सांख्यिकी की परिभाषा

• हम एकवचन अर्थों में या बहुवचन अर्थों में सांख्यिकी को परिभाषित कर सकते हैं। सांख्यिकी, जब बहुवचन संज्ञा के रूप में इस्तेमाल किया जाता हैं, तो इससे आशय उन इकट्ठे किये गये संमको से हैं जो गुणात्मक या मात्रात्मक प्रकार के हैं एंव उन्हे साँख्यिकीय विश्लेषण के उद्देश्य से एकत्र किया गया हैं
• साख्यिकीय को जब एकवचन संज्ञा के रूप मे परिभाषित किया जाता हैं तो इससे आशय उस वैज्ञानिक विधि से होता हैं, जिन्हे समंको को इकट्ठा करने, प्रस्तुत करने एंव विश्लेषण करने के लिए प्रयुक्त किया गया हैं अत: सांख्यिकी गणना या औसतो का विज्ञान हैं। सांख्यिकी का दायरा

निम्नलिखित तीन प्रमुखों के तहत सांख्यिकी के दायरे का अध्ययन किया जाता है

1. सांख्यिकी की प्रकृति (Nature)
2. सांख्यिकी के विषय (Subject matter)
3. सांख्यिकी की सीमाएं (Limitations)

(1) सांख्यिकी की प्रकृति

• सांख्यिकी की प्रकृति से, हमें यह निर्धारित करना होता है कि सांख्यिकी एक कला है या विज्ञान है। सांख्यिकी वैज्ञानिक तरीकों के विज्ञान को लागू करने की एक कला के रूप में माना जाता है। सांख्यिकी में, हम न केवल एक समस्या का अध्ययन करने के विभिन्न तरीकों का अध्ययन करते हैं बल्कि यह भी अध्ययन करते हैं कि उन तरीकों को विभिन्न स्थितियों में कैसे लागू किया जाना चाहिए।
• Tippett के शब्दों में, "सांख्यिकी एक विज्ञान और एक कला दोनों है। यह इस आशय में एक विज्ञान है, कि इसके तरीके मूल रूप से व्यवस्थित हैं और उनके सामान्य अनुप्रयोग हैं; और एक कला इस आशय में है कि सांख्यिकीय विधियों का सफल अनुप्रयोग, काफी हद तक सांख्यिकीय विद् के कौशल (skill) एंव अनुभव पर निर्भर करता हैं

(2) सांख्यिकी के विषय-वस्तु

1. सांख्यिकी के विषय-विषय को दो प्रमुख भागों में विभाजित किया गया है:

• (क) वर्णनात्मक सांख्यिकी
• (ख) असंहत या प्रेरक सांख्यिकी।

(क) वर्णनात्मक सांख्यिकी (Descriptive statistics):-

वर्णनात्मक सांख्यिकी में वे सांख्यिकीय तरीके होते हैं जो हमें बताते हैं कि समंको की सरंचना की विशेषताओं का वर्णन कैसे किया जाए। वे संमको के संग्रह, सारणीकरण और प्रस्तुति और विभिन्न तरीकों से समंको का वर्णन करने वाले उपायों की गणना के बारे में बताते हैं। वर्णनात्मक सांख्यिकी या तो एकचरीय या द्वि चरीय हो सकती हैं। निम्नलिखित को एकचरीय वर्णनात्मक सांख्यिकी में शामिल किया गया है:

• (1) आवृत्ति वितरण
• (2) केंद्रीय प्रवृत्ति के माप
• (3) अपकिरण के माप अर्थात फैलाव।

(ख) इनफेरेंशियल या प्रेरक सांख्यिकी (Inferential or Inductive statistics)

सांख्यिकी उन तरीकों से संबंधित हैं जहां एक बड़े समूह (population) के बारे में निष्कर्ष इसके एक हिस्से (sample) का अध्ययन करके तैयार किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, चावल के कुछ दानों की जांच करके एक गृहिणी यह अनुमान लगा लेती हैं कि पूरे बर्तन का चावल पका हैं या नहीं।

(3) सांख्यिकी की सीमाएं 

• सांख्यिकी केवल एक समस्या के मात्रात्मक पहलू का अध्ययन करता है और इसके गुणात्मक पहलुओं का अध्ययन नहीं करता है। गुणात्मक पहलुओं का अध्ययन करने के लिए उन्हें अप्रत्यक्ष रूप से संख्याओं में बदलना होगा। इस रूपांतरण के बाद हम गुणात्मक पहलू का भी विश्लेषण करते हैं।
• सांख्यिकी औसत से संबंधित हैं 
• सांख्यिकी व्यक्तिगत ईकाईयों का अध्ययन नहीं करती है 
• सांख्यिकीय परिणाम लगभग सही होते हैं 
• सांख्यिकीय परिणाम हमेशा संदेह से परे नहीं होते हैं 
• सांख्यिकी केवल एक साधन हैं सांख्यिकी और अंत (साध्य) नहीं। 
• सांख्यिकी का दुरुपयोग संमको के हेर – फेर से संभव हैं
• सांख्यिकी का उपयोग केवल विशेषज्ञों द्वारा किया जाना चाहिए। 
• सांख्यिकी अध्ययन ही केवल एकमात्र विधि नही होती। इन तरीकों से प्राप्त परिणाम को अन्य विधि से सत्यापित किया जाना चाहिए। 
• सांख्यिकीय अध्ययन के लिए समंक समरूप और एक समान होना चाहिए। 

सांख्यिकी के कार्य 

• सांख्यिकी विज्ञान के कार्यों को रॉबर्ट डब्ल्यू बर्गेस द्वारा निम्नलिखित शब्दों में खूबसूरती से अभिव्यक्त किया जाता है: 
• "The fundamental gospel of statistics is to push back the domain of ignorance, rule of thumb, arbitrary or tradition und dogmatism and to increase the domain in which decisions are made and premature decisions, principles are formulated on the basis of analytical quantitative facts." 
• यदि हम उपरोक्त कथन का विश्लेषण करते हैं, तो हम पाएंगे कि सांख्यिकी के विज्ञान के मुख्य कार्य नीचे दिए गए हैं: 
• (1) जटिल तथ्यों को सरल बनाना।
• (2) तुलनात्मक अध्ययन प्रदान करना। 
• (3) विभिन्न तथ्यों के बीच संबंधों का अध्ययन करना। 
• (4) व्यक्तिगत ज्ञान और अनुभव को बढ़ाना। 
• (5) विभिन्न क्षेत्रों में नीतियां बनाना। 
• (6) प्रभावों को मापने के लिए। 
• (7) एक परिकल्पना का परीक्षण करना। 
• (8) संख्यात्मक माप प्रदान करना।
• (9) पूर्वानुमान लगाना (प्रवृत्ति व्यवहार को इंगित करना)। 
• (10) समंको को वर्गीकृत करने के लिए 
• (11) अनिश्चितता को मापने के लिए 
• (12) वैध निष्कर्ष निकालना

सांख्यिकी का उपयोग और महत्व :

• राज्य और केंद्र सरकार प्रशासन में
• आर्थिक योजना जैसे - सार्वजनिक वित्त, बजट, मौद्रिक नीति की योजनाओं में। 
• बैंकिंग और बीमा क्षेत्र
• लेखांकन और लेखा परीक्षा, परिचालन शोध, सूची नियंत्रण, गुणवत्ता नियंत्रण, उत्पादन योजना, कार्मिक प्रबंधन, वितरण और परिवहन प्रबंधन आदि जैसी व्यावसायिक गतिविधियां।
• माइक्रो और मैक्रो, इकोनॉमिक्स – की अवधारणाओं को बिना समंको के विश्लेषण के नही समझा जा सकता

सांख्यिकी इकाइयों के प्रकार

सरल इकाई: -

• एक सेमी, एक किलोमीटर, एक टन इत्यादि जो एकल निर्धारण विशेषताओं के लिए प्रयुक्त होती हैं 

यौगिक इकाई: -

• वे दो या अधिक सरल इकाइयों का संयोजन हैं। उदाहरण के लिए एक मार्ग पर चल रही बसों की उत्पादकता को ज्ञात करने के लिए हम एक इकाई "यात्री - किलोमीटर" का उपयोग करते हैं यानी यात्री x बस द्वारा चले गये किलोमीटर 

काल्पनिक ईकाई :-

• जैसे शक्ति के मापन के लिए हॉर्स पावर ईकाई का प्रयोग किया जाता हैं 

दरः -

• सामान्यत: सांख्यिकी में दर प्रति हजार ज्ञात की जाती हैं, जैसे जन्म दर, मृत्यु दर आदि। 

अनुपात: -

• एक शहर में महिलाओं एंव पुरूषों के अनुपात जैसे दो तथ्यों के सापेक्ष मूल्य। 

गुणांक: -

• जब प्रति हजार के बजाय प्रति यूनिट (ईकाई) दर व्यक्त की जाती है तो उसे गुणांक कहा जाता है

C = Q/N  

C = गुणांक 

Q = चर की मात्रा 

N = संख्या 

सांख्यिकीय जांच के विभिन्न चरण

(1) जांच की योजना (Planning of investigation): समंको पर निर्भर करता है।:-

अन्वेषक को काम के वास्तविक रूप से शुरू होने से पहले, काम के उद्देश्य और दायरे को निर्धारित और परिभाषित करना चाहिए। इससे बेहतर परिणाम न्यूनतम व्यय के साथ प्राप्त किया जा सकता है 

(2) सांख्यिकी का संग्रह (Collection of data): -

योजना चरण के बाद अगले महत्वपूर्ण कदम संबंधित समंको को एकत्र करने के लिए है क्योंकि विश्लेषण और व्याख्या की कार्रवाई एकत्र समांकों पर निर्भर करता है.

प्राथमिक समंको की खूबियां:-

• यह मूल, अधिक विश्वसनीय, प्रामाणिक और सटीक है।
• सामान्य रूप से पूर्वाग्रह से मुक्त
• यह वास्तव में परियोजना की जरूरत से मेल खाता है

द्वितियक संमको की खूबियां:-

• यह आसानी से उपलब्ध है 
• प्राथमिक संमको की तुलना में बहुत कम खर्चीला और समय लगता है।

प्राथमिक संमको के अवगुण:-

• यह महंगा है 
• समय की खपत अधिक होती हैं
• कभी-कभी सटीक स्रोत से संपर्क करना मुश्किल हो सकता है

द्वितियक संमको के अवगुण

• वे वर्तमान संदर्भ में प्रासंगिक हो, यह सदैव जरूरी नही हैं। यह महंगा है
• वे व्यक्तिगत पूर्वाग्रह से मुक्त नहीं हो सकते हैं
• कभी-कभी वे पर्याप्त नहीं हो सकते हैं
• वे पुराने हो सकते हैं और इसलिए द्वितियक डेटा का उपयोग करने से पहले उचित देखभाल और सावधानियों की आवश्यकता होती है

संमको के प्राथमिक स्रोत

संमकों का संपादन

डेटा के संग्रह के बाद, इसे आगे की जांच के लिए संक्षिप्त या संपादित किया जाना चाहिए। इस प्रक्रिया में अनावश्यक डेटा को हटा दिया जाता है और केवल प्रासंगिक और आवश्यक संमकों को इकट्ठा किया जाता है।

संमकों का वर्गीकरण और सारणीकरण

संमकों का वर्गीकरण और सारणीकरण, डेटा के संगठन का एक हिस्सा है। वर्गीकरण, सारणीकरण के लिए प्रारंभिक है और सांख्यिकीय डेटा की उचित प्रस्तुति के लिए आधार तैयार करता है।

वर्गीकरण का उद्देश्य:

• संमकों का संक्षिप्त एवं संघनित रूप
• अध्ययन के उद्देश्य के लिए अनुकूल डेटा बनाने के लिए
• सारणीकरण के लिए एक आधार बनाने के लिए
• तुलनात्मक अध्ययन की सुविधा के लिए
• जटिल, बिखरे हुए डेटा को संक्षिप्त, तार्किक और आसानी से समझ सकने के रूप में प्रस्तुत करने के लिए।

वर्गीकरण के प्रकार :

(1) भौगोलिक (या स्थानिक (spatial)) वर्गीकरण:

• क्षेत्रवार वर्गीकरण, उदाहरण के लिए शहरों, राज्यों, जिलों आदि के संबंध में एकत्र किए गए आंकड़े

(2) कालक्रम (या लौकिक Temporal) वर्गीकरण:

• समय के आधार पर | for example वर्षों के सापेक्ष आयात या निर्यात।

(3) गुणात्मक वर्गीकरण:-

• कुछ विशेषताओं या गुणों के अनुसार वर्गीकरण
• यदि विशेषता की अनुपस्थिति या उपस्थिति के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है, तो इसे सरल या विरोधाभासी (Dichotomy) या दो गुना (Two fold) वर्गीकरण कहा जाता है।
• यदि प्रत्येक वर्ग को आगे दो वर्गों में विभाजित किया जाता है तो इस तरह के वर्गीकरण को बहुसंख्यक वर्गीकरण (manifold) कहा जाता है

(4) मात्रात्मक वर्गीकरण:-

• यदि डेटा को कुछ मापने योग्य इकाइयों के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है। उदाहरर्णाथ - ऊंचाई, वजन, उम्र आय। आदि। इन्हें उनकी संबंधित इकाइयों में मापा जाता है।

सारणीकरण:-

• इसे कॉलम और पंक्तियों में डेटा की व्यवस्थित व्यवस्था के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यह डेटा प्रस्तुति का सबसे सटीक (Accurate and best) तरीका है।

सारणीकरण का उद्देश्य:-

• जटिल डेटा को सरल बनाने के लिए
• डेटा को व्यवस्थित रूप में प्रस्तुत करने के लिए
• तुलनात्मक अध्ययन में मदद करने के लिए 
• जगह को अर्थबद्ध करने के लिए क्योंकि सभी अनावश्यक विवरण और पुनरावृत्ति को सारणीयन में टाला जाता है 
• सांख्यिकीय प्रसंस्करण (विश्वेषण) की सुविधा के लिए

एक अच्छी सारणी के आवश्यक भाग:-

• तालिका संख्या - जरूरत के समय उचित पहचान के लिए।
• शीर्षक - यह तालिका संख्या के नीचे दिया गया है। यह स्वयं व्याख्यात्मक होना चाहिए। 
• माप की इकाई - दाई ओर सारणी के ऊपरी भाग में दिखाई जाती है जैसे लाखों में इत्यादि
• हेड नोट - यह शीर्षक के लिए एक पूरक वाक्य होता है।
• कैप्शन और स्टब्स (उपशीर्षक एवं अनुशीर्षक)- कैप्शन ऊर्ध्वाधर स्तंभों के लिए शीर्षक हैं और स्टब्स क्षैतिज पंक्तियों के लिए शीर्षक हैं। 
• तालिका का मुख्य अंग - इसमें पाठक को प्रस्तुत किए जाने वाले संख्यात्मक आंकड़े शामिल हैं ) -
• फुट नोट (पाद टिप्पणी)- जब सारणी में किसी भी जानकारी पर , कुछ और विवरण की जरूरत होती है या किसी भी तरह की कोई अतिरिक्त जानकारी दी जानी है, तो हम पाद टिप्पणी का उपयोग करते हैं।
• स्रोत टिप्पणी - यह डेटा के स्रोत के बारे में जानकारी देता है।

नमूना तालिका

सारणी संख्या             सारणी का शीर्षक         उपसादित ईकाई

प्रारंभिक टिप्पणी

प्रीफेटरी नोट या हेड नोट

rakesh

स्रोत नोटः 

• टेबल के पूरे ऊपरी हिस्से को बॉक्स हेड कहा जाता है। 

आंकड़ों का विश्लेषण:

संग्रह, संपादन, वर्गीकरण और सारणीकरण के बाद डेटा का विश्लेषण माप के विभिन्न तरीकों जैसे केंद्रीय प्रवृत्ति के मापन, अपकिरण, विषमता आदि द्वारा किया जाता है।

डेटा की व्याख्या और रिपोर्टिंग:

संमको के विश्लेषण के बाद उचित और निष्पक्ष निष्कर्ष दिए जाते हैं। इन निष्कर्षों की व्याख्या सरल और समझ में आने वाली भाषा में की जानी चाहिए । और लिखित रूप में सूचित किया जाना चाहिए। रिपोर्ट संक्षिप्त होनी चाहिए और इसमें सभी आवश्यक जानकारी होनी चाहिए।

चर का अर्थ एवं प्रकार

चर वह राशि है जिसके मूल्य विभिन्न परिस्थितियों में बदलते रहते हैं। उदाणार्थ आय, आयु, ऊंचाई, वजन, निर्यात - आयात, उत्पादन इत्यादि प्रकार के होते हैं चर दो प्रकार के होते है ।

(i) खंडित (असतत) चर: 

असतत चर में केवल परिमित मूल्य हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक फुटबॉल मैच में गोलो की संख्या, परिवार में बच्चों की संख्या, एक कक्षों में छात्रों की संख्या, सड़क पर दुर्घटनाओं की, टेलीफोन कॉल आदि की संख्या।

जैसे - एक फुटबॉल मैच में गोलों की संख्याँ 0,1,2,3 हो सकती है ...... लेकिन 1.25 नहीं । व्यावहारिक रूप से ये पूर्णांक मूल्यों को ग्रहण करते हैं।

(ii) सतत चर- 

सतत चर वह चर है, जिसका निश्यित सीमाओं के अन्तर्गत कोई भी मूल्य हो सकता । यहाँ दो मूल्यों के मध्य अनगिनत मूल्य हो सकते है। उदाहरण के लिए, ऊंचाई, वजन, उम्र, तापमान।

जैसे -  हमारे पास 4 सेमी और 5 सेमी के बीच 4.01, 4.02, 4.11, 4.13, 4.21,4.23

सतत चर के मूल्यों को मापा जाता है।

सैद्धांतिक रूप से और व्यावहारिक रूप से वे तथ्य जिन्हे "मापा" जाता हैं उन्हें सतत चर के रूप में माना जा सकता है और जिन तथ्यों को "गिना" जाता है उन्हें खंडित चर कहा जाता है।

सांख्यिकीय श्रेणियाँ

समय पर आधारित श्रृंखला को काल श्रेणी कहा जाता है

भौगोलिक स्थिति पर आधारित श्रृंखला को "स्थानिक श्रेणी" कहा जाता है

TH

आदि अनन्त मूल्य हैं।

संख्यात्मक मान पर आधारित श्रृंखला को "व्यक्तिगत श्रृंखला" और "आवृत्ति वितरण" कहा जाता है किसी भी अन्य विशेष शर्त के आधार पर श्रेणी "सशर्त श्रेणी" कही जाती है मात्रात्मक मूल्यों पर आधारित श्रेणी आवृत्ति वितरण (आवृति बंटन) Individual series (व्यक्तिगत श्रेणी) . 70, 90, 60, 55, , 85, 18, 29 etc. (खंडित श्रेणी या असमूहीकृत आवृति बंटन) (सतत श्रेणी या समूहीकृत आवृति बंटन) Ex. Ex. Class 0-10 10 - 20-30 X | 2 5 7 9 11 0 f 3 4 5 4 3 Freq. 17 25 10 ce

आवृत्ति (क) एकल चर आवृति बंटन (यूनी - वेरिएट फ्रीक्वेंसी डिस्ट्रीब्यूशन) - यह एक चर के लिए बनता हैं जैसे छात्रों की आयु ।

वितरण दो प्रकार का हो सकता है

(ख) बाई - चर आवृति बंटन (द्वि-वेरिएट फ्रीक्वेंसी डिस्ट्रीब्यूशन) - इस डिस्ट्रीब्यूशन में हम एक बार में दो चरों का अध्ययन करते हैं। उदाहरण के लिए एक ही समय में गणित और सांख्यिकी में अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या

0 - 10 10 - 20 20 – 30 30 - 40 गणित में अंक कुल

Ex95

सांख्यिकी मे अंक 0-20 7 6 5 0 18 20-40 3 2 1 5 11 40-60 3 7 4 2 16 कुल 13 18 10 7 45145

उपरोक्त उदाहरण को 3 x 4 वर्गीकरण कहा जाता है

12 हैं वितरण में कुल प्रकोष्ठों (Cells) की संख्याँ 3 x 4 =

कुल सीमांत बंटन 2 हैं (अध्ययन किए गए चरों की संख्या के बराबर)

कुल प्रतिबंधात्मक वितरणों की सख्याँ, 3 + 4 = 7

कक्षा अंतराल के अनुसार वर्गीकरण में उपयोग की जाने वाले शब्दावली:

(a) कक्षा(वर्ग) अंतराल: जिन अंतरालों के भीतर समूहित आवृत्ति वितरण के मूल्य दिखाए जाते हैं, उन्हें वर्ग अंतराल या समूह कहा जाता है।

उदाहरण के लिए 0 - 10, 10 -20, 20 - 30, 30 - 40, 30 - 40 आदि।

(b) वर्ग सीमा: हर अंतराल में दो सीमाएं होती हैं यानी, ऊपरी सीमा और निचली सीमा, उदाहरण के लिए यदि वर्ग 50 -55 है तो 50 निम्न सीमा है, जिसे L1 द्वारा दिखाया गया है, और ऊपरी सीमा में L2 द्वारा दिखाया गया है

(c) कक्षा का गठन: कक्षाएं औपचारिक रूप से दो तरीकों की हो सकती हैं -

(1) अपवर्जी प्रकार: जब एक वर्ग की ऊपरी सीमा अगले वर्ग की निचली सीमा होती है, तो यह अपवर्जी कक्षाओं के रूप में जाना जाता है, इस विधि में वर्ग की उच्च सीमा का मूल्य उस वर्ग में शामिल नहीं है।

चिह्न छात्रों की संख्या

--- H

0-10

10-20

20-30

22

30-40

17

19

15

(2) समावेशी प्रकार: जब वर्ग की दोनों सीमाओं को वर्ग के मूल्यों में शामिल किया जाता है, तो वर्ग समावेशी कहा जाता है।

Example

अंक

छात्रों की संख्या

0-9

15

10 - 19

20 - 29

17

30 - 39

22

19

d अधिकांश स्थितियों में, समावेशी प्रकार के वर्ग को पहले अपवर्जी प्रकार के वर्ग में परिवर्तित करना चाहिए। किसी भी वर्ग की ऊपरी सीमा और उसके अगले वर्ग की निम्न सीमा के अंतर (d) को लेकर उसका आधा हिस्सा लेते हैं (-) और इस मूल्य को हर वर्ग की निचली सीमा से घटाते हैं एंव ऊपरी हैं सीमा में जोड़ते हैं।

(d) कक्षा आवृत्ति: एक वर्ग से संबंधित अवलोकनों की संख्या को उस वर्ग की आवृत्ति के रूप में जाना जाता है।

(e) एक वर्ग का मध्य मूल्य या वर्ग चिन्ह (class mark) : यह एक विशेष वर्ग के लिए प्रतिनिधि मूल्य है और "(ऊपरी सीमा + निचली सीमा)/2) के रूप में प्राप्त किया जाता है "

-ZENITH आवृत्ति 19.5 -29.5 39.5 के लिए। के लिए - = 20 म

(f) वर्ग सीमाएं और वर्ग की परिसीमाएं

अपवर्जी प्रकार की कक्षाओं के लिए वर्ग सीमाओं और वर्ग की परिसीमाएं के बीच कोई अंतर नहीं होता है।

समावेशी प्रकार की कक्षाओं के लिए, संशोधन कारक d/2 को जोड़कर और घटाकर वर्ग की परिसीमाएं प्राप्त की जाती हैं

उदाहरण के लिए:

कक्षा आवृत्ति 10-19 4 5 20-29 30-39 9

अपवर्जी प्रकार की कक्षाओं में परिवर्तित करने पर

कक्षा

9.5 –

19.5 29.5 -

अब उदाहरण

वर्ग 20 – 29 —

निम्न वर्ग सीमा

उच्च वर्ग सीमा = =

29 परिसीमा =

लेकिन निम्न वर्ग 19.5 =

उच्च वर्ग परिसीमा = 29.5 =

(g) कक्षा चौड़ाई या वर्ग अंतराल = UCB - LCB =

जहां UCB

= उच्च वर्ग परिसीमा

LCB = निम्न वर्ग परिसीमा

अपवर्जी कक्षाओं के लिए

वर्ग चौड़ाई = UCL - LCL

= UCB - LCB

जहां UCL = उच्च वर्ग सीमा

LCL = निम्न वर्ग सीमा

(h) संचयी आवृत्ति (संचयी बारंबारता, CF):

चिह्न आवृत्ति (1) CF 0 - 10 5 5 10 - 20 7 12 20-30 3 15 30 – 40 8 23 40 - 50 5 28 50 - 60 2 30 f = 30 ENE

सभी पूर्ववर्ती कक्षाओं की आवृत्तियों के योग में किसी भी वर्ग की स्वयं की आवृति को जोडने पर उस वर्ग की संचयी आवृत्ति (CF) प्राप्त होती है

(i) एक वर्ग का आवृत्ति घनत्व = (वर्ग की आवृत्ति)/(वर्ग की चौड़ाई) =

जब कक्षाअंतराल बराबर नहीं होता हैं, तो हम आवृत्तियों के स्थान पर आवृत्ति घनत्व का उपयोग करते हैं > यह कक्षाओं में आवृत्तियों की सघनता (concentration) निर्धारित करता है

(j) एक वर्ग की सापेक्ष आवृत्ति = =

(वर्ग की आवृत्ति)/(सभी आवृत्तियों का योग)

(k) वर्गों की आदर्श संख्या (n): स्टर्ज (sturge's) ने आवृत्ति वितरण के लिए कक्षाओं (वर्गों)की आदर्श संख्या निर्धारित करने के लिए एक फार्मूला दिया है

आवृत्ति वितरण के लिए कक्षाएं

n = 1 + 3.322 log N, जहां N= अवलोकनों की कुल संख्या %3D

(1) वर्ग अंतराल का निर्धारण स्टर्ज के अनुसार i = विस्तार (range)/n = जहां विस्तार = उच्चतम मूल्य - न्यूनतम मूल्य यदि n का मूल्य दशमलव में है, तो उसे निकटतम पूर्णाक में लेते हैं।

समंको की प्रस्तुति

(a) पाठ्य या पाठ्यात्मक (Textual) प्रस्तुति:

इस विधि की योग्यता इसकी सादगी में निहित है। यहां तक कि एक आम आदमी इस विधि से संमक प्रस्तुत कर सकता है। यह मूल रूप से प्रस्तुति के अन्य तरीकों की दिशा में पहला कदम है।

यह सुस्त, नीरस विधि है

विभिन्न अवलोकनों के बीच तुलनात्मक अध्ययन संभव नहीं है।

(b) सारणीय (tabular) प्रस्तुतिः

यह पंक्तियों और स्तंभों के आधार पर संमकों की व्यवस्थित प्रस्तुति है। इसके बारे में हम पूर्व में चर्चा कर चुके है।

(c) आरेखीय (चित्रमय) प्रस्तुतिः एक आयामी (one Dimensional) दो आयामी (two Dimensional) चित्रमय प्रस्तुति त्रिआयामी (Three dimensional) पिक्टोग्राम और कार्टोग्राम(pictograms Cartograms) आयत वर्ग | रेखा आरेख सरल दण्ड आरेख (चित्र) उप - विभाजित या घटक | दण्ड आरेख (चित्र) प्रतिशत दण्ड आरेख (चित्र) घन बेलनाकार गोला वृत्त पाई चार्ट या कोणीय आरेख या उपविभाजित वृत आरेख विचलन दण्ड आरेख (चित्र) मल्टीपल दण्ड आरेख (d) ग्राफिय प्रस्तुति आवृत्ति ग्राफ हिस्टोग्राम (histogram) ग्राफ (रेखांकन) समय श्रृंखला ग्राफ एक्स अक्ष पर समय - और वाई अक्ष पर निर्भर चर इस तरह के रेखांकन को हिस्टोरियाग्राम (Historiagram)भी कहा जाता है ये रेखांकन एक चर या दो से अधिक चर के लिए हो सकता है। आवृत्ति बहुभुज आवृत्ति वक्र ओगिव्स (ogives) (तोरण)

एक आयामी आरेख (One dimensional diagram)

उदाहरण:

1. रेखा आरेख: रेखा आरेख में ऊर्ध्वाधर रेखाएं, प्रत्येक रेखा की लंबाई मूल्य की आवृत्ति के बराबर होती है।

X 2 4 6 8 10 F 5 8 15 10 5 >X 2 4 6 ह। 10 LuLL

इस चित्र का उपयोग एक चर जाता हैं। भिन्नता न हो। आम दण्डो का तथा चर राशि के हैं दण्ड़ो की JANATH

2. सरल दण्ड चित्र (Simple bar diagram):

X 8 3. बहुल दण्ड चित्र (multiple bar diagram) इन दण्ड चित्रों का उपयोग तब किया जाता है जब दो या अधिक संबंधित चरों को तुलनात्मक अध्ययन के लिए चित्रमय प्रस्तुतिकरण करना होता हैं

(छात्रों की संख्या) I" division IInd division IIId division वर्ष 1995 10 30 50 1996 12 45 70 1997 14 50 60

Ot 6. →T"DAN. → ITagi. → Indav No off 0 student no 30 Lc 10 laas 1946 44 years

4. उप विभाजित या घटक दण्ड चित्र (Sub-divided or component bar diagram):

यह एक चर के कई भागों को प्रस्तुत करने और प्रत्येक भाग के बीच संबंध का अध्ययन करने के लिए प्रयोग किया जाता है।

दो परिचित का व्यय पैटर्न

गुणनफल खाद्य पदार्थ कपड़ा हाउस रेंट पढ़ाई दूसरों

उदाहरण:

EN

परिवार A (1000 रुपये में)

परिवार B (1000 रुपये)

5000

1000

10,000

3000

4000

25000

20000

15000

toctor

5000

Familya FainallyB

TIL

& food

|→ cloth, →

ह- others,

> teuse pert , RID Educatiry | Rent 2

5. प्रतिशत दण्ड (बार) आरेख (Percentage bar diagram):

उदाहरण। उपयुक्त आरेख द्वारा संमकों को चित्रित करें। NITA d 201 10+ 044 200 3 2004 2005 wo6 10+ -10 | 2017 साल निर्यातित माल आयात व्यापार-शेष 2003 95 115 -17 2004 110 140 -30 2005 115 96 +19 2006 120 100 +20 (भुगतान संतुलन = निर्यात - आयात) = -

यदि उप विभाजित या घटक दण्ड चित्र के समंकों को प्रतिशत के संदर्भ में दिखाया गया है, तो यह हो जाता है, तो यह प्रतिशत दण्ड चित्र बन जाता सभी दण्डों की ऊंचाई एक ही होती है क्योकि कुल प्रतिशत 100 होताहै।

6. विचलन दण्ड चित्र: (द्वि - पार्श्व बार आरेख)(deviation bar-diagram)

इनका उपयोग घटना के शुद्ध विचलन (परिमाण) अर्थात् शुद्ध लाभ, शुद्ध हानि, शुद्ध आयात को दिखाने या तुलना करने के लिए किया जाता है। यहां दण्ड धनात्मक एवं ऋणात्मक दोनों दिशाओं में हो सकता हैं।

दो आयामी चित्र (two dimensional diagram):

एक आयामी चित्र में हम केवल दण्डों (Bars) की लंबाई को ध्यान में रखते हैं और चौड़ाई केवल चित्र के सौंदर्यकरण के लिए ली जाती है दो आयामी चित्र या क्षेत्र आरेख में चौड़ाई का भी ध्यान रखा जाता है। इन्हे प्रतिशत % के आधार पर तैयार कर सकते है।

1. आयत चित्र:

इनका उपयोग आम तौर पर दो या अधिक परिवारों के कुल व्यय, उत्पादन की विभिन्न मदों पर खर्चों की तुलना आदि करने के लिए किया जाता है।

है।

उदाहरण:

ईकाईयाँ व्यय परिवार 2 परिवार 1 खाद्य पदार्थ 1200 1700 500 800 कपड़ा घर का किराया ईधन 600 900 250 300 अन्य 450 800 3000 4500 yodat 20००2000+ MXXX ० १००० Family A (र 3000) Family Pasor) नोट – यहां आयतों की चौड़ाई व्यय के अनुपात में ली जाती हैं यानी 3000 : 4500 = 2 : 3 2. वर्ग एवं वृत चित्र (square and circle diagram)

उपर्युक्त उदाहरण में यदि दो परिवारों का कुल व्यय 45000 और 3000 है, तो आयत चित्र में आयतों की चौड़ाई 15: 1 अनुपात में हो जाती है ' जो आरेखीय रूप से दिखाने के लिए एक असुविधाजनक अनुपात है इस स्थिति को दूर करने के लिए वृत्त या वर्ग आरेख (चित्र) का उपयोग करते है। चूंकि वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा) अत: प्रत्येक अवलोकन का वर्गमूल निकाला जाता है, जिससे अवलोकन का प्रतिनिधित्व करने वाले वर्ग की भुजा हो जाती है।

% इसी प्रकार वृत का क्षेत्रफल = TTr2अत: क्षेत्रफल, त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है, अत: अवलोकन का वर्गमूव निकालने पर वृत की त्रिज्या ज्ञात हो जाती है।

देश जनसंख्या (लाखों) I 196 IL 2060 III 8820

स्केल- 15 यूनिट 1 सेमी

वर्ग आरेख के लिए

देश जनसंख्या वर्गमूल वर्ग की भुजा I 196 14 14 II 2060 45.39 45 III 8820 93.61 94

Scale- 15 unit = 1 cm वृत्त चित्र के लिए देश जनसंख्या वर्गमूल वृत्त की त्रिज्या I 196 14 14 II 2060 45.39 45 III 8820 93.61 94 Scale – 15 unit = 1 cm 200 Square diagram anche diagremas

नोट :वर्ग की भुजा एवं वृत की त्रिज्या के मान सन्निकट (approximation) लिये जाते है।

3. पाई - चार्ट : एक पाई - चार्ट एक वृत होता है जो घटकों में विभाजित होता है जिनका क्षेत्रफल संगत घटक के समानुपात होता है। इनका निर्माण प्रतिशत के आधार पर किया जाता है। पाई चार्ट बनाने के लिए, प्रत्येक क्षेत्र के प्रतिशत को डिग्री में परिवर्तित हो जाता है।

पाई चार्ट की मूल अवधारणा है -

» संमको का कुल मूल्य = कुल डिग्री 360°

= =

1% क्षेत्रफल, 3.6 डिग्री के बराबर होता है, चूंकि कुल क्षेत्रफल 100 प्रतिशत होता है।

वृत पर 12 O' clock की स्थिति के साथ सबसे बड़े घटक से शुरू करते हैं फिर अवरोहि क्रम में दक्षिणावर्त दिशा में अन्य घटकों को अंकित किया जाता हैं

त्रिआयामी चित्र (आयतन चार्ट)

इन चित्रों में हम तीनों आयामों अर्थात लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई का उपयोग करते हैं। इन चित्रों का उपयोग तब किया जाता है जहां घनमूल आसानी से निकाला जा सकता है और अवलोकन के मूल्यों के बीच बहुत बड़ा अंतर हो।

इन्हें घन, गोला आदि के आकार में बनाया जा सकता है।

%

उदाहरण:

विश्वविद्यालय छात्रों की संख्या 125 घनमूल घन की भुजा I 5 5 II 64 4 4 III 27 3 3 IV 3 2 2

यहां हम विभिन्न विश्वविद्यालयों के छात्रों की संख्या के बीच बड़ा अंतर देख सकते है।

II

77.

WITH

पिक्टोग्राम और कार्टोग्राम | pictogram and Cartograms]

को पिक्टोग्राम ध्यान आकर्षित करने और देखने वाले के दिमाग एक अमिट छाप बनाने में उपयोगी होते हैं। आम तौर पर प्रदर्शनी, मेलों आदि में

पिक्टोग्राम की तकनीक को डॉ ओटो न्यूर्थ (dr. otto Neurth)द्वारा विकसित किया गया था जो वियना (vienna) के निवासी थे। इस विधि वियना विधि या आइसोटाइप (isotype) विधि के रूप में भी जाना जाता है।

इस्तेमाल किया जाता है। उदाहरण: साल शिपिंग कन्टेनरों का निर्यात (shipping vessels exported) 1990 2000 2010 2020 स्केल लिया गया: 1 जहाज = 100 कन्टेनर 19403 FOOD Hary ne 2020 daviry 2010

T

I

नक्शे द्वारा सांख्यिकीय संमकों के प्रदर्शित करने को कार्टोग्राम कहा जाता है। उदाहरण के लिए क्षेत्रवार या राज्यवार वर्षा की मात्रा, क्षेत्रवार जनसंख्या घनत्व आदि नक्शे पर दिखाया जा सकता है।

ग्राफ (graphs):

ग्राफ सांख्यिकीय आंकड़ों की एक दृश्य औपचारिक प्रस्तुति हैं। वे आकर्षक और प्रभावशाली होते हैं। कई बार हम रेखांकन के साथ छिपी हुई प्रवृत्ति या पैटर्न निर्धारित कर सकते हैं (चित्रमय प्रस्तुति से भी)

एक ग्राफ बनाने का मूल नियम यह है कि दोनों एक्स-अक्ष और वाई-अक्ष शून्य से शुरू की जाती हैं। यदि दिए गए अवलोकन एवं 0 में बड़ा अंतर है

तो X -अक्ष के लिए मोडदार रेखा (kinked line) तथा ऐसा Y – अक्ष के लिए हो तो कटी हुई रेखा (false base line) का प्रयोग करते हैं Rani point doo Penfalse baseline Goroof Kinked line । T IP10/2018

माध्यिका, चतुर्थक आदि के मूल्य "ग्राफीय विधि" द्वारा निर्धारित किए जा सकते हैं। बहुलक का मूल्य हिस्टोग्राम द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।

हिस्टोग्राम के अंतर्गत आने वाला कुल क्षेत्र कुल आवृत्ति के बराबर या कुल आवृत्ति के समानुपाती होता है। हिस्टोग्राम के लिए वर्ग (classes) परस्पर अपवर्जी रूप में होने चाहिए असमान वर्ग की चौड़ाई की स्थिति में, हम आवृत्ति के स्थान पर आवृत्ति घनत्व का उपयोग करते हैं। हिस्टोग्राम के दण्ड एक दूसरे से जुड़े हुए होते हैं यदि दण्डों के कोई दण्ड अनुपस्थित है, तो इसका आश्य है कि उस वर्ग की आवृति शून्य है।

उदाहरण:

हिस्टोग्राम

आवृत्ति 10

कक्षा

0 - 10

10-20

20 - 30

30-40

15

20

40 - 50

10

5

Suci 10 ए 51 30 ch)

आवृति बहुभुज :

→ इसे आवृति बंटन का रेखा चार्ट (line chart) भी कहा जाता है।

पहले, हिस्टोग्राम बनाया जाता है और फिर दण्डों के शीर्ष पर मध्य बिन्दुओं को अंकित करके उन्हे एक सीधी रेखा (पैमाने से) से जोड़ा जाता हैं बहुभुज के अंत बिंदुओं को (end points) को बढ़ाया जाता है। एवं आधार रेखा पर दण्डो के पूर्ववर्ती एवं ठीक बाद वाले वर्ग के मध्य बिन्दुओ से

जोडा जाता है। > यहाँ, यह माना जाता कि आवृत्तियाँ समान रूप से वर्ग में वितरित हैं। आवृत्ति वक्र (frequency Curve):

पहले, हिस्टोग्राम बनाया जाता है और फिर दण्डों के शीर्ष पर मध्य बिन्दुओं को मुक्त हस्त विधि से मिलाया जाता है। आवृत्ति वक्र के तरह क्षेत्रफल लगभग उतना ही होता हैं, जितना आवृत्ति बहुभुज में होता हैं

संचयी आवृत्ति वक्र या तोरण (ogives)

से कम तोरण (less than type ogive)

Example :

Frequency

से अधिक तोरण (more than type ogive)

Class

0 - 10

Less than type (से कम प्रकार

Cumulative frequency (संचयी बारम्बारता)

10-20

का) Less than 10

20 - 30

Less than 20

5

Less than 30

30 – 40

40 - 50

7

Less than 40

Less than 50

5

12

9

5

4

21

26

30

30

Class Frequency Cumulative frequency (संचयी बारम्बारता) More than type (से अधिक प्रकार का) More than 10 0 - 10 5 5 10 - 20 7 More than 20 12 20 - 30 9 More than 30 21 30-40 5 More than 40 26 40 - 50 4 More than 50 30 30

30 -less than type ogire 25 - 15 10 x more than tyke ogibe के. 10 23 Ho से कम एवं से अधिक तोरण (ogive) वक्रों के प्रतिच्छेद बिन्दु से माध्यिका का बिन्दु प्राप्त होता है । (x - अक्ष पर) विभिन्न प्रकार के वक्रः 1.प्रसामान्य वक्र: घंटी के आकार का वक्र होता है। माध्य स्थिति के सापेक्ष सममित वक्र होता है। माध्य = माध्यिका बहुलक = X-MAZ

2. विषम वक्र:

skewed

Negative

Skiweol 1

Positive

M X - Extended towards right

3. यू- आकार का वक्र:

4. Jआकृति एंव प्रतिलोम J आकृति वक्र

NITH

ñ

→ Extended to woods left

5. मिश्रित आकार: m

M

Z

2

उपरोक्त वक्र को दो प्रसामान्य वक्रों का सयोजन या एक J– आकार, एक U - आकार एवं एक प्रतिलोम J आकार के वक्र का संयोजन माना जा सकता है।

e-ZENITH